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Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
Definición de semejanza de triángulos
Dados los triángulos y , los lados y , y , y se llaman lados homólogos. Los ángulos homólogos son: , y . Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales, es decir, que se cumple:
y
La razón de la proporción, , entre los lados homólogos de los triángulos se llama razón de semejanza.
Observaciones:
1. La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
2. La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. Así, si las áreas de los triángulos y son y , respectivamente, entonces
Ejemplos prácticos
1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución. Así, dada la semejanza, tenemos la siguiente igualdad
despejando obtenemos
2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Notemos que como tenemos los catetos de uno de los triángulos rectángulos, podemos calcular su hipotenusa
Dada la hipotenusa y que los triángulos son semejantes, utilizaremos el hecho de que los lados son proporcionales para obtener los catetos del otro triángulo. Primero calculemos
despejando obtenemos
Ahora calculemos
despejando obtenemos
Criterios de semejanza
Ángulos iguales
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Lados proporcionales
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
Ángulos entre lados
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.
o bien
o bien
Ejercicios de triángulos seme
Determinar los siguientes triángulos son semejantes:
1
Para este ejemplo, analizaremos si los lados son proporcionales, para esto podemos proceder de varias maneras, sin embargo, lo que nosotros haremos es reducir la proporción de cada lado a su mínima expresión y ver si éstas coinciden, en caso de ser así, habremos encontrado el razón de proporción . Para ello, notemos que
,
,
y por último
.
Así, tenemos que
Podemos concluir que los triángulos son semejantes porque tienen los lados proporcionales.
2
Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a . Dicho esto, entonces tendríamos que
Ahora, notemos que y . Por lo tanto son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
3
Veremos si los dos lados dados en cada triángulo son proporcionales y si el ángulo entre estos son iguales. Primero, es claro que los ángulos .
Entonces, solo falta ver que los lados sean proporcionales, para ello, notemos que
Por lo tanto, tenemos que
Así, los triángulos son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos iguales.
Semejanza de triángulos rectángulos
Ángulo
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo (distinto al ángulo recto) igual.
Catetos proporcionales
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
Hipotenusa y cateto
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la
hipotenusa y un cateto.
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Será que me pueden ayudar en este problema de encontrar el cateto ” a” en un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide 4 cm y el cateto “B” mide 3 cm , ayudaaaa
gracias por su tarea
GRACIAS POR SEMEJANTE TRABAJO, CREATIVO Y MUY BIEN ESTRUCTURADOS LOS PROBLEMAS
Quisiera si me pueden ayudar a resolver estos problemas : Hallar el area de la interseccion de los circulos . x2 +y2 = 9 y x2 +y2 =6x y otro es; Hallar la ongitud del arco de la curva a) x = 1/2 y elevado la 2 – i/4 desde y=1 hasta y = e b) (y +1)elevado a la 2 = 4x elevado a la 3 desde (0,,0) hasta (1.5)
longitud y perímetro con los datos r=14.5cm \theta =(3)/(4\pi )
los puntos A, B, C, D, E y F de la circunferencia de centro O y
4cm de radio determinan seis arcos congruentes. Hola profesor, ¿usted me puede ayudar con ese problemas?
El perímetro o longitud de un CD (disco compacto de forma circular) es 42𝜋
2 +8𝜋 − 4 𝑐𝑚, hallar el polinomio
que representa el valor del radio (segmento de recta que va del centro de la circunferencia a cada uno de los
puntos de esta). Teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia (C)= 2π r, por lo tanto se debe despejar
el radio (r).
CUAL ES EL AREA Y EL PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA QUE SE ENCUENTRA DENTRO DE UN CUADRADO DE 10 CM DE LADO
el %de 50 de $
Un parque tiene la forma que aparece en la siguiente gráfica.
En el centro hay un lago circular de 18 m de diámetro y en cada uno de los círculos pequeños de 40 dm de radio hay un árbol. El resto del parque corresponde a la zona verde que pueden disfrutar los visitantes. ¿Qué área del parque es zona verde?