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Vamos

Elementos notables de un triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

 

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

elementos notables de un triangulo 1

 

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

 

Baricentro

elementos notables de un triangulo 2

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

     


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Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

 

Circuncentro

elementos notables de un triangulo 3

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

 

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

 

Incentro

elementos notables de un triangulo 4

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

elementos notables de un triangulo 5

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Ejercicios propuestos

Para el triángulo con vértices encontrar:

1las alturas

alturas

 

1 Buscamos la ecuación de la altura que pasa por el vértice y el lado opuesto a este.

 

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente del lado

 

 

La pendiente de la altura es

 

 

La altura tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la altura es

 

2 Buscamos la ecuación de la altura que pasa por el vértice y el lado opuesto a este.

 

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente del lado

 

 

La pendiente de la altura es

 

 

La altura tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la altura es

 

3 Buscamos la ecuación de la altura que pasa por el vértice y el lado opuesto a este.

 

Como la altura es perpendicular al lado opuesto, calculamos la pendiente del lado

 

 

La pendiente de la altura es

 

 

La altura tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la altura es

2el ortocentro

ortocentro

 

1 Buscamos la intersección de las alturas para lo cual multiplicamos por 7 la primera altura y sumamos la segunda altura para obtener la segunda coordenada del ortocentro

 

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del ortocentro en la ecuación de la primera altura y despejamos para obtener la primera coordenada del ortocentro

 

 

3 Verificamos que el ortocentro pertenece a la altura

 

 

la igualdad se satisface por lo que el ortocentro es la intersección de las tres alturas

3las medianas

medianas

 

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

 

El punto medio del lado es

 

 

El punto medio del lado es

 

 

El punto medio del lado es

 

 

2 Buscamos la ecuación de la mediana que pasa por el vértice y el punto medio del lado opuesto a este

 

Calculamos la pendiente que pasa por y

 

 

La mediana tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la mediana es

 

3 Buscamos la ecuación de la mediana que pasa por el vértice y el punto medio del lado opuesto a este

 

Calculamos la pendiente que pasa por y

 

 

La mediana tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la mediana es

 

4 Buscamos la ecuación de la mediana que pasa por el vértice y el punto medio del lado opuesto a este

 

Calculamos la pendiente que pasa por y

 

 

La mediana tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la mediana es

4el baricentro

Baricentro

 

1 Buscamos la intersección de las medianas para lo cual multiplicamos por la primera mediana, por la segunda mediana y sumamos ambas medianas para obtener la segunda coordenada del baricentro

 

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del baricentro en la ecuación de la segunda mediana y despejamos para obtener la primera coordenada del baricentro

 

 

3 Verificamos que el baricentro pertenece a la mediana

 

 

la igualdad se satisface por lo que el baricentro es la intersección de las tres medianas

5las mediatrices

mediatrices

 

1 Buscamos los puntos medios de los lados del triángulo

 

El punto medio del lado es

 

 

El punto medio del lado es

 

 

El punto medio del lado es

 

 

2 Buscamos la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de y es perpendicular a este.

 

Calculamos la pendiente del lado

 

 

La pendiente de la mediatriz es

 

 

La mediatriz tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la mediatriz es

 

3 Buscamos la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de y es perpendicular a este.

 

Calculamos la pendiente del lado

 

 

La pendiente de la mediatriz es

 

 

La mediatriz tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la mediatriz es

 

4 Buscamos la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de y es perpendicular a este.

 

Calculamos la pendiente del lado

 

 

La pendiente de la mediatriz es

 

 

La mediatriz tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la altura es

6el circuncentro

circuncentro

 

1 Buscamos la intersección de las mediatrices para lo cual multiplicamos por la primera mediatriz y sumamos ambas mediatrices para obtener la segunda coordenada del circuncentro

 

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del circuncentro en la ecuación de la segunda mediatriz y despejamos para obtener la primera coordenada del circuncentro

 

 

3 Verificamos que el circuncentro pertenece a la mediatriz

7x + 5y - 3

 

la igualdad se satisface por lo que el circuncentro es la intersección de las tres mediatrices

7las bisectrices

bisectrices

 

1 Para encontrar la ecuación de una bisectriz, basta igualar la distancia de los puntos de la bisectriz con los lados del ángulo en cuestión, esto es, si los lados que forman el ángulos son

 

 

entonces la bisectriz se obtiene de

 

 

2 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados y . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

 

la recta

 

 

la ecuación es

 

 

la recta

 

 

la ecuación es

 

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

 

 

Así, la ecuación de la bisectriz es

 

 

3 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados y . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

 

la recta

 

 

la ecuación es

 

 

la recta

 

 

la ecuación es

 

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

 

 

Así, la ecuación de la bisectriz es

 

 

4 Buscamos la ecuación de la bisectriz de para esto necesitamos encontrar las ecuaciones de los lados y . Empleando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos obtenemos:

 

la recta

 

 

la ecuación es

 

 

la recta

 

 

la ecuación es

 

Aplicamos la fórmula para obtener la bisectriz

 

 

Así, la ecuación de la bisectriz es

 

8el incentro

incentro

 

1 Buscamos la intersección de las bisectrices para lo cual multiplicamos por la primera bisectriz, por y sumamos ambas bisectrices para obtener la segunda coordenada del incentro

 

 

2 Sustituimos el valor de la segunda coordenada del incentro en la ecuación de la primera bisectriz y despejamos para obtener la primera coordenada del incentro

 

9la recta de Euler

recta de Euler

 

1 Buscamos la recta que pasa por el ortocentro , el baricentro y el circuncentro

 

2Calculamos la pendiente para el ortocentro y el baricentro

 

 

La recta de Euler tiene pendiente y pasa por el punto . Calculamos su ecuación

 

 

Así, la ecuación de la recta de Euler es

10Verifica que el incentro no pertenece a la recta de Euler

recta de Euler 2

 

1 Basta sustituir el incentro en la ecuación de la recta de Euler y verificar que no la satisface]

 

 

Sustituimos

 

 

Como el incentro no satisface la ecuación de la recta de Euler, entonces concluimos que el incentro no se encuentra sobre la recta de Euler.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗