En este artículo veremos como calcular apotemas tanto de polígonos regulares, en dos dimensiones, como de pirámides y otras figuras geométricas tridimensionales.

 

Recordemos que la apotema de un polígono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado.

 

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Vamos

Apotema de un triángulo equilátero

 

Apotema de triángulo equilátero

 

Primero encontremos el valor de un lado del triángulo en términos del radio de la circunferencia circunscrita al él. Notemos en la figura, que la altura es igual al apotema más el radio, esto es

 

 

Además, usando el teorema de pitágoras, obtenemos que

 

 

esto usando el triángulo rectángulo formado por el lado, la altura y la mitad de la base que es igual a la mitad del lado. Ahora, despejando obtenemos

 

 

sacando raíz

 

 

Entonces, sustituyendo tenemos

 

 

o bien

 

 

elevando al cuadrado

 

 

Además, notemos que tenemos otro triángulo rectángulo formado por el apotema, el radio y la mitad de un lado, de este triángulor rectángulo se sigue que

 

 

despejando el apotema al cuadrado tenemos

 

 

Igualemos los dos resultados obtenidos para , y despejemos el lado, esto es

 

 

esto también nos quiere decir que

 

 

racionalizando el denominador

 

 

Ahora, sustituyamos este valor en la igualdad que obtuvimos previamente

 

 

Así, el apotema es igual a .

 

Notemos que aqui hemos obtenido tanto el radio como el apotema en términos del lado del triángulo. Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un triángulo equilátero de de lado.

 

Ejemplo apotema de triángulo equilátero

 

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Tenemos que nuestra fórmula es

 

 

sustituyendo el valor del lado obtenemos

 

 

Apotema de un cuadrado

 

Apotema del cuadrado

 

La apotema de un cuadrado es igual a la mitad del lado, esto es,

 

 

Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un cuadrado de de lado.

 

Ejemplo de apotema de un cuadrado

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

 

sustituyendo el valor del lado obtenemos

 

 

Apotema de un pentágono

 

Apotema de un pentágono

 

Primero, recordemos que el ángulo central de un pentágono es radianes, por lo tanto, el ángulo comprendido entre el apotema y el radio es la mitad, esto es . Ahora, el seno de este ángulo es el cateto opuesto entre hipotenusa, esto es

 

 

despejando tenemos que

 

 

entonces, podemos obtener directamente el radio a partir un lado, ya que el seno lo podemos calcular directamente con la calculadora.

 

Ahora bien, utilizando el teorema de pitágoras tenemos que

 

 

despejando el apotema y sacando raíz

 

 

esta fórmula la podemos usar directamente si ya tenemos el valor del radio y de un lado. Si solo contamos con el valor de un lado, entonces sustituimos el valor del radio en términos del lado

 

 

Notemos que aquí el apotema depende únicamente del lado, sin embargo necesitamos hacer más operaciones, por lo tanto es más conveniente contar con el lado y el radio.

 

Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un pentágono de de lado y de radio.

 

Ejemplo de apotema pentágono

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

 

sustituyendo el valor del lado y el radio obtenemos

 

 

Apotema de un hexágono

 

Apotema de un héxagono

 

Primero, recordemos que el ángulo central de un pentágono es radianes, por lo tanto, el ángulo comprendido entre el apotema y el radio es la mitad, esto es . Ahora, el seno de este ángulo es el cateto opuesto entre hipotenusa, esto es

 

 

sin embargo, también tenemos que

 

 

de donde se sigue que

 

 

entonces, tenemos que en un hegáxono, el radio radio mide lo mismo que un lado.

 

Ahora bien, utilizando el teorema de pitágoras tenemos que

 

 

o bien

 

 

sacando raíz

 

 

Veamos el siguiente ejemplo

 

Calcular la apotema de un pentágono de de lado.

 

Ejemplo apotema hexágono

 

Tenemos que nuestra fórmula es

 

 

sustituyendo el valor del lado y el radio obtenemos

 

 

Apotema de una pirámide

 

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

 

Apotema de una pirámide

 

Calculamos la apotema lateral de la pirámide (), conociendo la altura (), y la apotema de la base (), aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado. Por lo tanto, el cuadrado del apotema lateral estaría dado por

 

 

o bien, el apotema lateral estaría dado por

 

 

Apotema de un tronco pirámide

 

Un tronco pirámide regular está formado por dos bases que son polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las apotemas son las alturas de estos trapecios.

 

Apotema de un tronco piramide

 

Calculamos la apotema lateral del tronco pirámide (), conociendo la altura (), la apotema de la base mayor () y apotema de la base menor (), aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado en la imagen.

 

Notemos que en este triángulo, uno de los catetos es la altura mientras que el otro es la diferencia del apotema de la base mayor menos el apotema de la base menor, por lo tanto, el cuadrado del apotema lateral es

 

 

o bien, el apotema lateral sería

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗